Südwestdeutscher Verlag für Hochschulschriften Minimale Bahnen in klassischen hyperbolischen Räumen

Taucht man einen geschlossenen Draht in Seifenlauge, entstehen Flächen, deren Inhalt für die gegebenen Konturen ein relatives Minimum annimmt. Das Studium dieser Minimalflächen hat in und ausserhalb der Mathematik grosse Bedeutung. Die mittlere Krümmung von Minimalflächen ist in jedem Punkt gleich 0. Verallgemeinernd nennt man Untermannigfaltigkeiten Riemannscher Mannigfaltigkeiten minimal, falls der mittlere Krümmungsvektor überall verschwindet. Eine Untermannigfaltigkeit, für die jede lokal kürzeste Verbindungslinie auch in der umgebenden Riemannschen Mannigfaltigkeit lokal Kürzeste ist, heisst total geodätisch. Solche Untermannigfaltigkeiten sind stets minimal; die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Diese Arbeit beschäftigt sich damit, die beiden Begriffe voneinander abzugrenzen. Für die hyperbolischen Räume über den komplexen Zahlen, Quaternionen und Oktonionen wird eine vollständige Klassifikation aller minimalen Gruppenbahnen der Isometriegruppe gegeben. Zudem werden Existenz und Eindeutigkeitsresultate für allgemeinere Beispielklassen formuliert.